お住いの各自治体によって方法は様々です。

敷布団（マットレス）の処分（廃棄）方法は、各自治体でマチマチです。まずは、お住まいの自治体（区役所／市役所）へお問い合わせください。
当店で色々と調べたところ、多くの自治体で敷布団（マットレス）は粗大ゴミ扱いとしています。粗大ゴミの処理方法や費用は自治体によって異なりますが、大よそ以下のイメージです。

自治体のごみ収集センターに、敷布団やマットレス等の処理方法について問い合わせをする。
（問い合わせ先については、「お住まいの市町村名 粗大ごみ 処分 問い合わせ」のキーワードで検索してください。）

a) 粗大ごみを収集してくれる自治体の場合（主に都心部及び地方都市）

1. 粗大ごみを収集する日と収集場所を確認する（自宅まで回収してくれるケースが大半です）
2. 自治体又はお近くのコンビニやスーパー等で、指定された金額の「粗大ごみ手数料券（通常シールタイプ）」を購入する
3. 収集日当日、ごみ手数料券を廃棄する敷布団（マットレス）に貼付し、指定された場所へ置いておく

b) 粗大ごみを地域指定の清掃センターへ持ち込む自治体の場合（主に地方）

1. 粗大ごみを処理したい日に自治体へ出向き、許可書を入手する
2. 指定の清掃センターまで持ち込み、そこで支払いを行なう

敷布団やマットレスの処分や廃棄は一見大変そうですが、ご自宅まで回収に来てくれる自治体が大半のようです。思う以上に簡単ですので、まずはお住まいの自治体に一度お尋ねしてみてください。